Федеральная Служба Опасности (malaya_zemlya) wrote,
Федеральная Служба Опасности
malaya_zemlya

Category:

Правило Лапласа

Что это я все про зло да про зло, напишу-ка я о чем нибудь добром. О теории вероятностей, например (предупреждаю, дальше будет матан, не математически настроенным дальше будет неинтересно)
Есть в математике такое правило следования Лапласа. Объясню вкратце: пусть у нас имеется неведомая хрень, про которую только известно, что если ее потрясти, то она выдаст ответ либо "да" либо "нет" и что ответы выпадают независимо друг от друга. Обычно представляют себе хитрогнутую монету или огромное ведро с черными и белыми шарами (неизвестно сколько каких). Это по вкусу.
И вот мы взяли эту неведомую хрень. потрясли 5 раза и из них 2 раза получили ответ "да". Спрашивается, с какой вероятностью в следующий раз выпадет опять "да"?

Неправильны очевидный ответ: 2/5 Неочевидный правильный: (2+1)/(5+2) = 3/7 В этом и есть правило Лапласа.


Точнее: пусть у нашего генератора равноемерное априорное распределение вероятностей. То бишь шансы то, что вероятность успеха равна 10% равноа шансам того, что вероятност равна 25% или 100% (да. в ход идут вероятности вероятностей). Если у нас сделано N испытаний и из них M испытаний успешно, то вероятность успеха при следующем испытании ("наилучшая оценка") равна (M+1)/(N+2)

Примечание: В неправильности наивного ответа можно легко убедиться, если взглянуть на предельный случай N=1. Мы потрясли один раз, получили ответ "да". И что теперь? У нас в следуюший раз "да" выпадет с вероятностью 1/1=1? И так у нас всю жизнь теперь "да" будет? (спасибо kobak за пример)

Во-как. Стандартное доказательство можно прочитать либо в статье в википедии выше (на английском), либо тут на русском. Но, сказать. по чести оно мне не нравится. там матан, факториалы и ничего не понятно. То есть все вроде правильно, но хотелось бы чего-то более очевидного. Правило-то по сути простое. Неужели без интегралов нельзя понять откуда берутся эти лишние единицы?

Ну вот думал я думал и придумал (дальше мое лично творчество. безошибочность не гарантирую)

Как мы может смоделировать нашу неизвестную хрень с равномерным распределением? Вот как: берем случайное число x от 0 до 1 Это будет наша вероятность успеха. Испытателю мы ее не сообщаем, а запоминаем внутри генератора. Теперь начинаем делать собственно испытания. Для каждого испытания i мы берем другое случайное число y_i, тоже от 0 до 1 Если оно меньше или равно x то возвращаем "успех", иначе говорим "неудача"

Если вдуматься, построенный нами прибор функционально совершенно аналогичен неизведанной хрени в условиях. Если бы мне задали смодерировать хрень на компе, то я, собственно, именно так бы ее и запрограммировал.

Теперь пусть у нас уже такая ситуация: мы сделали N испытаний, получили M "успехов" и теперь собираемся сделать N+1ое испытание. Что у нас творится внутри смоделированной хрени? Рассмотрим на примре, приведенном выше, где N=5, M=2

Внутри хрени теперь есть число x и числа y1, y2... y5 Все они сгенерированы совершенно одинаковым способом - случайно выбраны из интервала [0,1]

Теперь хитрый трюк. Мы замечаем, что если мы повторим наш эксперимент (все N испытаний) многократно, эти числа по величине могут идти в любом порядке. Если. как в примере выше, M=2 N=5 то
возможно , что
y1 < y3x < y2 < y5 < y4
или 
y5 < y2 < x < y1 < y4 < y3
или
y3 < y2 < x < y4 < y1 < y5
итп
- вероятность одна и та же

Единственное ограничение. что у нас должно быть M=2 успехов. То есть, левее x имеем 2 числа, а правее, соотвественно, 3

Если мы пересортируем все у в порядке возрастания и переименуем в y' то у нас будет

y'1 < y'2 < x < y'3 < y'4 < y'5

Идем дальше, и добваляем новое число y6. На него у нас никаких ограничений нет. Оно может быть левее всех сгеренереных чисел, правее всех или стоять между какими-то двумя. Иными словами мы можем одинаково ожидать, что y6 попадет в интервал

0... y'1,  y'1...y'2 ,  y'2...x, x... y'3, y'3...y'4, y'4...y'5 или же y'5...1 

Всего 7 интервалов.

Из этих интервалов 3, а именно 0... y'1,  y'1...y'2 ,  y'2...x соответствуют "успеху". а остальные "неудаче" Итого вероятность 3/7 
Что и требовалось.

Надо сказать, что обосновать правильность рассуждения, так чтоб было абсолютно очевидно, что оно действительно правильно, до конца у меня не получается. Видимо, чего-то недопонимаю. Тервер это такая засада... 

По мотивам старого треда у plakhov a
posted on dreamwidth [ comments]
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 23 comments